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Guía 6 - Teoremas de conservación


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Teoremas de conservación

Dado un sistema de nn partículas, tal que cada una de ellas puede o no estar sometida tanto a fuerzas externas como internas, notaremos con símbolo F⃗iext\vec F_i^{ext} a la resultante de las fuerzas externas que se aplican sobre la partícula ii, mientras que f⃗ij\vec f_{ij} es el símbolo que adjudicaremos a la fuerza interna que actúa sobre la partícula ii, pero que es ejercida por la partícula jj. Aquí debemos hacer una breve aclaración, si se llega a considerar a la partícula jj como una entidad no perteneciente al sistema analizado, entonces la fuerza f⃗ij\vec f_{ij}, pasa a ser una fuerza externa.

Definimos también a la posición del centro de masa como

R⃗cm=∑i=1nmir⃗iM\vec R_{cm} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i\vec r_i}{M}

Donde MM es la masa total del sistema o M=∑i=1nmiM=\sum\limits_{i=1}^n m_i. De igual forma, definimos la velocidad del centro de masa como

V⃗cm=∑i=1nmiv⃗iM\vec V_{cm} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i\vec v_i}{M}

Teorema de conservación del impulso lineal en un sistema de partículas

La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas se puede definir como

p⃗=∑i=1np⃗i=∑i=1nmiv⃗i=MVcm\begin{split} \vec p &= \sum\limits_{i=1}^n \vec p_i \\ &= \sum\limits_{i=1}^n m_i\vec v_i\\ &= MV_{cm} \end{split}

Como es sabido, para que la cantidad de movimiento se conserve, esta debe ser constante, y por tanto, su derivada tiene que ser nula.

dp⃗dt=∑i=1ndp⃗idt=∑i=1n(⃗F⃗iext+∑j≠if⃗ij)=∑i=1nF⃗iext+∑i=1n∑j≠if⃗ij\begin{split} \frac{d\vec p}{dt} &= \sum\limits_{i=1}^n \frac{d\vec p_i}{dt}\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec (\vec F_i^{ext} + \sum\limits_{j\neq i} \vec f_{ij})\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{ext} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j\neq i}\vec f_{ij} \end{split}

Si observamos por un momento el segundo termino del reciente resultado, podemos ver que en la sumatoria total aparecerá tanto f⃗ij\vec f_{ij} como su par de reacción f⃗ji\vec f_{ji}, los cuales se anulan mutuamente, dando como resultado

dp⃗dt=∑i=1nF⃗iext=MAcm\begin{split} \frac{d\vec p}{dt} &= \sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{ext}\\ &= MA_{cm} \end{split}

Corolarios a tener en cuenta:

Teorema de conservación de la energía en un sistema de partículas

Para un sistema de nn partículas, podemos decir que la energía total del sistema esta dada por

E=∑i=1nEi=∑i=1n(Eci+Epi)\begin{split} E &= \sum\limits_{i=1}^n E_i\\ &= \sum\limits_{i=1}^n (E_{c_i} + E_{p_i}) \end{split}

Donde Eci,EpiE_{c_i},E_{p_i} corresponden a la energía cinética y potencial de la partícula ii. Por otro lado, sabemos que

ΔE=0  ⟺  Wnc=0\Delta E = 0 \iff W_{nc} = 0

Nuestro problema se focaliza en determinar si las fuerzas internas realizan trabajo no conservativo.

Wnc=Wncext+WncintdWnc=dWncext+dWncint=∑i=1nF⃗iextdr⃗i+∑i=1n∑j≠if⃗ijdr⃗i\begin{split} W_{nc} &= W_{nc}^{ext} + W_{nc}^{int}\\ dW_{nc} &= dW_{nc}^{ext} + dW_{nc}^{int}\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{ext}d\vec r_i + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j\neq i}\vec f_{ij}d\vec r_i \end{split}

Si observamos por un momento el segundo termino del reciente resultado, podemos ver que en la sumatoria total aparecerá tanto f⃗ij\vec f_{ij} como su par de reacción f⃗ji\vec f_{ji}, cuya relación es f⃗ij=−f⃗ji\vec f_{ij} = -\vec f_{ji}. Dicho esto, podemos acomodar nuestra sumatoria tal que podamos definir un termino dwidw_i que sea igual a f⃗ijdr⃗i+f⃗jidr⃗j\vec f_{ij}d\vec r_i + \vec f_{ji}d\vec r_j.

dwi=f⃗ijdr⃗i+f⃗jidr⃗j=f⃗ijdr⃗i−f⃗ijdr⃗j=f⃗ij(dr⃗i−dr⃗j)=f⃗ijd(r⃗i−r⃗j)\begin{split} dw_i &= \vec f_{ij}d\vec r_i + \vec f_{ji}d\vec r_j\\ &= \vec f_{ij}d\vec r_i - \vec f_{ij}d\vec r_j\\ &= \vec f_{ij}(d\vec r_i - d\vec r_j)\\ &= \vec f_{ij}d(\vec r_i - \vec r_j) \end{split}

Es decir que dwi=0  ⟺  d(r⃗i−r⃗j)=0dw_i = 0 \iff d(\vec r_i - \vec r_j) = 0, ósea que, el trabajo realizado por los pares de acción y reacción de fuerzas internas de un sistema será cero, cuando la distancia entre las partículas que ejercen dichas fuerzas es constante.

Un cuerpo solido es un ejemplo de un sistema cuyas partículas mantienen siempre una distancia constante.

Solo en esos casos, podemos decir que al sistema solo lo afectan las fuerzas externas. En otros casos, no me queda otras que considerar el trabajo realizado por las fuerzas internas.

Por ende, en general, la energía de un sistema solo se conserva cuando

ΔE=0  ⟺  Wncext+Wncint=0\Delta E = 0 \iff W_{nc}^{ext} + W_{nc}^{int} = 0

Teorema de conservación del impulso angular en un sistema de partículas

Podemos decir que el impulso angular de un sistema de partículas visto desde un punto oo es

L⃗o=∑i=1nL⃗i=∑i=1nr⃗i×p⃗i\begin{split} \vec L_o &= \sum\limits_{i=1}^n \vec L_i\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times \vec p_i \end{split}

El impulso angular se conserva si y solo si, el torque, en este caso, del sistema de partículas es igual a cero

M⃗o=dL⃗odt=∑i=1ndL⃗idt=∑i=1nr⃗i×F⃗i\begin{split} \vec M_o &= \frac{d\vec L_o}{dt}\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \frac{d\vec L_i}{dt}\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times \vec F_i \end{split}

Donde F⃗i\vec F_i son las fuerzas que afectan a la partícula ii, ya sean internas como externas.

F⃗i=F⃗iext+∑j≠if⃗ij\vec F_i = \vec F_i^{ext} + \sum\limits_{j\neq i} \vec f_{ij}

Aplicamos esta expresión a la definición de torque para un sistema de partículas

M⃗o=∑i=1nr⃗i×F⃗i=∑i=1nr⃗i×(F⃗iext+∑j≠if⃗ij)=∑i=1n(r⃗i×F⃗iext)+(r⃗i×∑j≠if⃗ij)=∑i=1nr⃗i×F⃗iext+∑i=1n(r⃗i×∑j≠if⃗ij)\begin{split} \vec M_o &= \sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times \vec F_i\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times (\vec F_i^{ext} + \sum\limits_{j\neq i} \vec f_{ij})\\ &= \sum\limits_{i=1}^n (\vec r_i \times \vec F_i^{ext}) +( \vec r_i \times \sum\limits_{j\neq i} \vec f_{ij})\\ &= \sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times \vec F_i^{ext} + \sum\limits_{i=1}^n (\vec r_i \times \sum\limits_{j\neq i} \vec f_{ij})\\ \end{split}

Si observamos por un momento el segundo termino del reciente resultado, podemos ver que en la sumatoria total aparecerá tanto f⃗ij\vec f_{ij} como su par de reacción f⃗ji\vec f_{ji}, cuya relación es f⃗ij=−f⃗ji\vec f_{ij} = -\vec f_{ji}. Dicho esto, podemos acomodar la sumatoria tal que se generen los siguientes pares: (r⃗i×f⃗ij)+(r⃗j×f⃗ji)(\vec r_i \times \vec f_{ij}) + (\vec r_j \times \vec f_{ji}). Si trabajamos sobre esta suma, nos aparecerá lo siguiente

(r⃗i×f⃗ij)+(r⃗j×f⃗ji)=(r⃗i×f⃗ij)+(r⃗j×−f⃗ij)=(r⃗i×f⃗ij)−(r⃗j×f⃗ij)=(r⃗i−r⃗j)×f⃗ij=r⃗i′×f⃗ij\begin{split} (\vec r_i \times \vec f_{ij}) + (\vec r_j \times \vec f_{ji}) &= (\vec r_i \times \vec f_{ij}) + (\vec r_j \times -\vec f_{ij})\\ &= (\vec r_i \times \vec f_{ij}) - (\vec r_j \times \vec f_{ij})\\ &= (\vec r_i -\vec r_j) \times \vec f_{ij}\\ &= \vec r_i^\prime \times \vec f_{ij} \end{split}

Si ocurre que el vector r⃗i−r⃗j\vec r_i -\vec r_j, que no es otra cosa más que la posición de la partícula ii visto desde la partícula jj, es paralela a la dirección de la fuerza que ejerce la partícula jj sobre la partícula ii, el producto vectorial se anula.

En dicho caso, el torque del sistema solo seria afectado por las fuerzas externas., por tanto, el impulso angular se conserva cuando

M⃗oext=0  ⟺  ∑i=1nr⃗i×F⃗iext=0\begin{split} \vec M_o^{ext} &= 0 \iff \sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times \vec F_i^{ext} = 0 \end{split}

Afortunadamente, el vector r⃗i−r⃗j\vec r_i -\vec r_j suele ser paralelo al vector f⃗ij,\vec f_{ij}, por lo que este último resultado puede aplicarse fácilmente.