Guía 1 - Movimientos en dos o más dimensiones

Publicado el 3/29/2023

Componentes de un vector en dos dimensiones

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Un vector en dos dimensiones posee dos componentes: una componente horizontal y una componente vertical. La componente horizontal se denota como $A_x$ y la componente vertical se denota como $A_y$ . Estas dos componentes se pueden combinar para formar el vector original mediante el teorema de Pitágoras:

A^2 = A_x^2 + A_y^2

Donde $A = |\vec A|$ , y $\vec A$ forma un ángulo $\theta$ con relación al eje $x$ . Dicho esto, las siguientes funciones trigonométricas se cumplen

A_x = A \cos \theta

A_y = A \sin \theta

\tan \theta = \frac{A_y}{A_x}

Desplazamiento, velocidad y aceleración en dos dimensiones

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Ahora la trayectoria de un objeto posee mucho más interes, ya que no solo se mueve sobre una recta, sino que lo hace sobre un plano. Si proponemos a $\vec r_i$ y $\vec r_f$ como vectores de posición inicial y final correspondientemente, podemos decir que el vector $\Delta \vec r$ que une los puntos $p$ y $q$ es el vector desplazamiento, por tanto vale que:

\vec r_f - \vec r_i = \Delta \vec r

Dicho esto, podemos definir a la velocidad media como

\vec{v}_{media} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}

Y de esta forma podemos definir

\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}

\vec a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}

Ahora “acelerar” no necesariamente significa un cambio en magnitud $|\vec v| = v$ , sino que puede representar un cambio en la dirección de $\vec v$ . Es decir, un movimiento puede ser acelerado y mantener una velocidad constante a la vez.

Veamos un ejemplo, supongamos que un movil dobla un esquina. Tanto antes como despues de girar, su velocidad fue la misma en tanto magnitud, pero cambio su dirección debido a una aceleración perpendicular a la trayectoria del movil.

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Movimiento de un proyectil

Si arrojamos un objeto con una velocidad inicial $\vec v_i$ que no represente una caida libre o un tiro vertical, observamos que dicha velocidad tiene componentes tanto en el eje $x$ como en el eje $y$ . A este tipo de movimiento se lo conoce como tiro oblicuo, y es un caso más de un MRUA donde la aceleración que percibe el objeto no es otra que la gravedad.

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Las ecuaciones para este tipo de movimiento son similares a las ecuaciones dadas para movimientos unidimensionales, solo que precisa de la descomposición de los vectores.

\Delta \vec r = (rx, ry) = \left\{ \begin{matrix} rx = r_{x0} + v_{x0} t + \frac{1}{2} a_x t^2 \\ \\ ry = r_{y0} + v_{y0} t + \frac{1}{2} a_y t^2 \end{matrix} \right.

\Delta \vec v = (vx, vy) = \left\{ \begin{matrix} vx = v_{x0} + a_x t \\ \\ vy = v_{y0} + a_y t \end{matrix} \right.

La caída libre o el tiro vertical son simplemente casos particulares en los que la $v_x=0, a_x =0, a_y=-9,8\frac{m}{s^2}$ . A la componente de la aceleración en el eje $y$ se la conoce como aceleración de la gravedad y se la simboliza con la letra $g$ .

Entonces podemos construir las ecuaciones para tiro oblicuo:

\Delta \vec r = (rx, ry) = \left\{ \begin{matrix} rx = r_{x0} + v_{x0} t\\ \\ ry = r_{y0} + v_{y0} t - \frac{1}{2}gt^2 \end{matrix} \right.

\Delta \vec v = (vx, vy) = \left\{ \begin{matrix} vx = v_{x0} \\ \\ vy = v_{y0} -g t \end{matrix} \right.

El tiro oblicuo es la composición de dos movimientos, uno en MRU con relación a las componentes en $x$ y otro en MRUA con relación a las componentes en $y$ .

Lo siguiente que vamos a hacer es describir la trayectoria del objeto. Para ello, usaremos las componentes de $\Delta \vec r = (x, y)$

\Delta \vec r = (x, y) = \left\{ \begin{matrix} x = x_0 + v_{x0} t\\ \\ y = y_0 + v_{y0} t - \frac{1}{2}gt^2 \end{matrix} \right.

Despejando $t$ de la componente $x$ obtenemos:

t= \frac{\Delta x}{v_{x0}}

Reemplazando t en la componente $y$ obtenemos:

y = y_0 + v_{y0} \frac{\Delta x}{v_{x0}} - \frac{1}{2}g\frac{\Delta x}{v_{x0}}^2

Es una parábola cóncava hacia abajo

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