Apéndice - Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Publicado el 4/25/2023

Ecuaciones lineales de coeficientes constantes homogéneas

La forma general de las ecuaciones de este tipo es

\ddot y + p\dot y + qy = 0 \space \text{con}\space p,q \in \R

Proponemos como solución la función $y = e^{rx}$ con $r\in \R$ , cuyas derivadas son de la forma $y^{(n)}(x) = r^ne^{rx}$ . Con esta solución, nuestra ecuación se vería algo así:

\begin{split} r^2e^{rx} + rpe^{rx} + qe^{rx} &= 0\\ e^{rx}(r^2 + rp +q) = 0 \end{split}

Se conoce como ecuación característica de la ecuación $\ddot y + p\dot y + qy = 0$ , a la ecuación algebraica asociada

r^2 + rp +q

Conociendo las raíces de la ecuación característica podemos formar la solución general de la ecuación diferencial original.

Caso 1: Raíces reales distintas

La ecuación característica tiene raíces reales distintas $r_1$ y $r_2$ . En este caso, las bases del sistema de soluciones son

e^{r_1x},e^{r_2x}

Por tanto, la solución general tendrá la forma

y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}

Con $C_1,C_2$ constantes.

Caso 2: Raíces reales iguales

La ecuación característica tiene una sola raíz $r$ . En este caso, las bases del sistema de soluciones son

e^{rx},xe^{r_2x}

Por tanto, la solución general tendrá la forma

\begin{split} y(x) &= C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}\\ &= e^{rx}(C_1 + C_2x) \end{split}

Con $C_1,C_2$ constantes .

Caso 3: Raíces complejas

La ecuación característica tiene raíces complejas distintas $r_1 = a + bi$ y $r_2 = a - bi$ . En este caso, las bases del sistema de soluciones son

e^{(a+bi)x},e^{(a-bi)x}

Por tanto, la solución general tendrá la forma

\begin{split} y(x) &= C_1e^{(a+bi)x} + C_2e^{(a-bi)x}\\ &=e^{ax}( C_1e^{bix} + C_2e^{-bix}) \end{split}

Usando la expresión de Euler

e^{ix} = \cos x + i\sin x\\ e^{-ix} = \cos x - i\sin x

Podemos llegar a la siguiente expresión de la solución general

y(x) = e^{ax}(D_1\cos bx + iD_2 \sin bx)

Con $D_1,D_2$ constantes. Si adoptamos $G_1 = D1, G_2 = iD_2$ , entonces, podemos hallar una solución general con la forma

y(x) = e^{ax}(G_1\cos bx + G_2 \sin bx)

Con $G_1,G_2$ constantes. Es importante notar que dada esta expresión, se puede decir que las siguientes funciones son base del sistema de soluciones

e^{ax}\cos bx , e^{ax}\sin bx